[Probability] Gamma Function과 이항정리/방데르몽 항등식

 

인공지능 공부를 위해 확률을 공부하는 중이다.

이번 포스팅은 Gamma Function과 조합을 알아보겠다.

 

 

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[목차]

1. Gamma Function 개념
2. Gamma Function 성질

3. 조합과 이항정리/ 반데르몽 항등식(Vandermonde Identity)

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1. Gamma Function

팩토리얼! 기억나는가? N! = N(N-1)(N-2)... 를 말한다.
이 팩토리얼은 본래 정수에서만 정의되지만, 실수 및 복소수에서도 표현하고 계산할 수 있길 바랐다.
복소수 범위에서도 팩토리얼을 나타낼 수 있게 일반화한 것이 Gamma Function이다.

 

 

 

 

 

2. Gamma Function 성질

Gamma Function은 크게 3가지 성질을 기억하면 된다.

 

 

첫 번째, GF(a+1) = a*GF(a)

 

 

 

2. GF(n+1)=n!

 

 

 

3. GF(1/2) = root(PI)

감마 함수에 1/2를 넣으면 파이에 루트를 씌운 값이 나온다.
후에 활용하겠지만, 만약 GF(3/2)라면 어떤 값이 나오게 될까?
정답: 1/2*root(PI)

위에서 배운 성질 2개를 써서 혼자 풀어보자!

 

 

 

 

3. 조합과 이항정리/가우시안정리

순열은 n개 중에 r개를 뽑고, 순서까지 고려한 경우의 수를 고려한다.

조합은 n개 중에 r개를 뽑지만, 순서는 고려하지 않는다.
인공지능에서 다루는 확률에선 조합을 매우 중요하게 활용한다.

 

 

 

이항정리는 다음과 같다.
여기서 조합은 각 차수들의 계수들을 구할 때 쓰인다. 중요점은 조합을 표현할 때 어떻게 표현하는지이다.

 

 

 

방데르몽 항등식은 다음과 같다.
조합을 어떻게 확장하여 표현할 수 있는지 살펴보길 바란다.
이에 대한 증명도 같이 적어두었다.