[선형대수학] 행렬의 영공간 계산하기(Calculationg the null space)

 

행렬의 영공간이란?

행렬 A와 곱하여 영벡터를 만드는 모든 벡터 x의 집합입니다.

자세한 개념이 생각 안 나신다면 저번 포스팅을 보며 복습해주세요.

https://mengu.tistory.com/82?category=937657 

[선형대수학] 행렬의 영공간 (Null space of a matrix)

이번 포스팅에선 행렬의 영공간을 직접 구해보겠습니다.

 

 

 

 

 

📌 영공간 정의 복습

 

행렬 A가 있습니다. 3행 4 열이며, 벡터 x와 곱해지면 0 벡터가 된다는 것이 밑의 그림입니다.

 

 

위의 그림을 하나의 수식으로 표현한 것입니다.

행렬의 영공간 = 'Ax=0'을 만족하는 모든 벡터 x의 집합 

다들 이제 기억나시나요? 그렇다면 바로 영공간을 구해보도록 하겠습니다.

 

 

 

 

 

📌 영공간 계산 첫 단계

 

행렬 A와 벡터 x를 곱해줍니다. (1X4)의 영벡터가 본래 결과이며, 밑의 수식들은 곱에 따른 결과입니다.

즉, 곱 결과 = 0이며 이를 만족하는 x1, x2, x3, x4를 찾으면 영공간을 찾을 수 있을 것입니다.

* 위의 수식을 만족하는 x1~4까지 찾아라!

 

 

 

 

📌 첨가 행렬 꼴

 

변수가 4개 이상인 방정식을 풀기 위해 첨가 행렬 꼴을 이용합니다.

사실 이름만 거창할 뿐, 자세히 보면 x의 계수들을 써놓은 것에 지나지 않습니다.

왼쪽은 x의 계수들을, 오른쪽은 각 수식들의 결과 값입니다.

 

 

 

 

📌 기약행 사다리꼴 만들기

 

첨가 행렬꼴을 바탕으로 기약행 사다리꼴을 만듭니다.

만드는 과정에서 방정식은 간소화되고 쓸만한 정보로 바뀝니다.

 

 

첫 번째 변형에선 둘째 행을 첫째 행으로 뺀 값을 둘째 행에 넣었습니다.

 

두 번째 변형에선 첫째 행을 4로 곱하고 둘째 행을 뺐습니다. 그 값을 세 번째 행에 넣었습니다.

 

마지막 변형에선 첫째 행에서 둘째 행을 뺐습니다.

그 결과 기약행 사다리꼴이 완성되었습니다.

 

 

 

📌 영공간의 요소들 정의하기

 

기약행 사다리꼴을 다시 방정식으로 써줍니다.

그럼 왼쪽 아래와 같습니다. 다시 방정식을 x1, x2에 대한 식으로 변형합니다.

 

x1, x2도 x3와 x4로 설명이 가능함으로 모든 변수를 x3, x4 만 남도록 바꿔줍니다.

그 결과, 밑의 오른쪽 수식과 같이 벡터 x를 표현할 수 있게 되었습니다.

 

 

 

 

 

📌 행렬의 영공간 final

 

여기서 잠시! x3과 x4는 실수입니다. 어느 수든 실수라면 상관없습니다. 즉, x3과 x4에 따라 무수한 값이 나올 수 있으며 결국 영공간은 해집합이라는 것을 알 수 있습니다. 

 

혹시 Span(v1, v2) 기억나시나요? v1, v2로 구성할 수 있는 모든 벡터를 가리킵니다.

그렇습니다. 이 개념은 행렬의 영공간과도 연결됩니다. 

 

 

앞서 확인한 x3, x4와 곱해지는 벡터 2개를 Span의 벡터 값이라고 생각한다면?

행렬의 영공간도 Span(v1, v2)라고 볼 수 있을 것입니다.

 

 

위의 수식이 최종 행렬 A의 영공간이 되겠습니다.

지금까지 행렬의 영공간을 구하는 방법에 대해 알아보았습니다.

고생하셨습니다.