[선형대수학] 행렬의 열공간 (Column Space of a Matrix)

 

이번 포스팅에선 행렬의 열공간 (Column Space of a Matrix)에 대해 알아보겠습니다. 만약 영공간에 대한 개념을 모르신다면 아래의 포스팅들을 보고 와 주시길 바랍니다.

 

 

포스팅의 목표: 행렬의 열공간 개념을 이해하고 설명할 수 있다.

 

 

[행렬의 영공간이란?]

https://mengu.tistory.com/82

[선형대수학] 행렬의 영공간 (Null space of a matrix)

 

[행렬의 영공간 계산하기]

https://mengu.tistory.com/91

[선형대수학] 행렬의 영공간 계산하기(Calculationg the null space)

 

 

 

 

📌 행렬 A와 열 벡터

 

행렬 A(MxN)를 정의해보겠습니다.

 

 

 

 

행렬 A의 열들을 하나의 벡터로 생각하면 어떨까요?

행렬 A = [V(1), V(2), V(3), V(4) ... V(n)]

 

 

 

 

 

📌 행렬 A의 열공간

 

행렬 A의 열공간은 행렬 A의 열 벡터들의 생성(span)을뜻합니다.

즉, 열 벡터들의 선형 결합으로 탄생할 수 있는 모든 벡터들의 집합이라 보시면 됩니다.

 

 

<행렬 A의 열 벡터의 생성>

 

 

 

 

 

📌 행렬 A의 열공간 유효성

 

열공간도 하나의 부분 공간입니다. 

따라서 부분 공간의 유효성을 검증해야 합니다.

(1) 0 벡터를 포함하는가?

(2) 벡터 a와 벡터 b가 C(A)에 포함된다면, 벡터 a + 벡터 b도 C(A)에 포함되는가?

(3) 벡터 a가 C(A)에 포함된다면, c*벡터 a도 C(A)에 포함되는가?

 

 

✔ 첫 번째 조건 : 영벡터 포함

선형 결합의 계수인 C1, C2, C3 ... Cn이 만역 전부 0이라면, Span(...)은 0벡터를 포함합니다.

 

 

 

✔ 두 번째 조건

벡터 a와 벡터 b가 C(A)에 포함된다고 가정합니다.

 

 

 

식을 나열하면, 본래의 선형 결합과 똑같이 재현할 수 있습니다. 따라서 두 번째 조건도 만족합니다.

 

 

 

 

✔ 세 번째 조건

벡터 a가 C(A)에 속한다고 가정합니다.

S*벡터 a를 나열할 경우, 마찬가지로 선형 결합(span 식)으로 나타낼 수 있습니다.

 

 

이에 따라 S*벡터 a도 C(A)에 속하게 되므로, 세 번째 조건도 만족합니다.

 

 

 

 

 

첫 번째, 두 번째, 세 번째 조건을 모두 만족했습니다.

따라서 행렬 A의 열공간은 유효하다고 할 수 있습니다.

 

 

 

 

 

📌 행렬 A 열공간을 다르게 표현해보기

 

행렬 A의 열공간은 이렇게 표현할 수도 있습니다.

 

 

위의 식을 풀면 다음과 같습니다.

 

 

 

위의 집합을 벡터와 벡터의 곱으로 나타냈습니다.

그런데 이 모습 어디서 보지 않았나요? 그렇습니다. 행렬 A의 열 벡터 들을 선형 결합시킨다면 이런 모양이 나올 것입니다.

 

 

 

 

 

 

간단한 문제입니다.

생각해보고 맞으시길 바랍니다.

 

 

 

 

 

 

답: 그런 벡터 x는 존재하지 않습니다.

해설: 애초에 A*x가 C(A)이기 때문.

 

 

 

 

 

지금까지 행렬의 열공간에 대해 알아보았습니다.

수고하셨습니다.