[선형대수학] 영공간과 선형독립 간의 관계 (Relation of null space to linear independence of columns)

 

 

이번 포스팅에선 영공간과 선형독립 간의 관계(Relation of null space to linear independence of columns)에 대해 알아보겠습니다. 만약 영공간에 대한 개념을 모르신다면 아래의 포스팅들을 보고와주시길 바랍니다.

 

 

포스팅의 목표: 행렬의 열벡터들이 선형 독립인가?를 영공간과 연관지어 설명할 수 있다.

 

 

[행렬의 영공간이란?]

https://mengu.tistory.com/82

[선형대수학] 행렬의 영공간 (Null space of a matrix)

 

[행렬의 영공간 계산하기]

https://mengu.tistory.com/91

[선형대수학] 행렬의 영공간 계산하기(Calculationg the null space)

 

 

 

 

📌 행렬 A와 열벡터

행렬 A를 가정합니다. MxN 크기입니다.

 

 

 

행렬 A를 열벡터(v)들의 집합으로 변환해줍니다.

v는 총 n개가 생성될 것이며, 각각의 v는 m차원의 벡터입니다.

 

 

 

 

📌 영공간(nulll space)의 되새김질

영공간은 다음과 같은 조건의 집합이었습니다.

행렬 A와 곱했을 때 zero vector를 만드는 모든 x의 집합이 바로 영공간이었습니다.

 

 

영공간을 풀어서 보면 다음과 같은 Nx1의 벡터를 얻을 수 있습니다.

x1, x2, .. xn은 1차원의 실수입니다. 벡터 x는 변수 x가 n개 있으므로 N차원으로 이뤄져 있다고 할 수 있습니다. 

 

 

 

📌 (행렬 A) X (벡터 x) = 0

이제 행렬 A와 벡터 x를 식으로 나타내보겠습니다.

다음과 같이 dot product를 진행할 수 있을 것입니다.

그런데... 오른쪽에 도출된 식말이죠. 어디서 본 적 있지 않나요?

 

 

 

 

 

📌 선형독립 여부 판별식

벡터 공부하는 초기에 선형독립과 선형종속을 배우셨을 겁니다.

거기서 선형독립 여부를 판별하기 위해 쓰는 식이 밑의 식입니다.

만약 모든 X가 0이어야만 식이 독립한다면, 벡터들은 서로 선형독립입니다.

 

 

 

 

📌 영공간과 선형독립 간의 관계

영공간은 다음의 식을 만족한다고 앞서 언급했습니다.

그렇다면 만약 영공간이 제로벡터라면 무엇을 의미할까요?

 

만약 모든 X가 0이어야만 식이 독립한다면, 벡터들은 서로 선형독립입니다.

 

바로 행렬 A의 열벡터들이 서로 선형독립이라는 뜻입니다.

이제 영공간과 선형독립의 관계성을 이해하셨나요?

 

 

행렬 A의 열벡터들이 선형독립이라면, 행렬 A의 영공간은 0벡터를 포함해야 합니다.

반대로, 행렬 A의 영공간이 0벡터를 포함한다면 행렬 A의 열벡터들은 선형독립이어야 합니다.

 

 

 

 

📌 문제

 

[문제 1] 행렬 B의 열벡터들이 선형종속이다. 그렇다면 행렬 B의 영공간은 영벡터를 포함하는가?

[문제 2] 행렬 C의 영공간은 다음 식을 만족한다. N(C) = {0}. 행렬 C의 열벡터는 선형독립인가?