[선형대수학] 행렬의 영공간 (Null space of a matrix)

 

행렬의 영공간에 대해 알아보는 포스팅입니다.

행렬은 어느정도 이해가지만, 영공간은 대체 무슨 말인지 모르겠습니다.

영공간을 이해하기 위해선 먼저 부분 공간에 대한 복습이 이뤄져야 합니다.

 

 

📌 부분공간과 조건

 

 

Subspace S가 R^n의 부분 공간이라고 생각하겠습니다.

그렇다면 S가 정말 유효한 부분공간이기 위해서는 다음 3개의 조건을 만족해야 합니다.

 

(1) 영벡터를 포함한다.

(2) 벡터 v1, v2가 S에 포함된다면, v1+v2도 S에 포함된다.

(3) 벡터 v1이 S에 포함된다면, cv1도 S에 포함된다.

 

이 조건을 잘 기억해두고 다음 단계로 넘어가시길 바랍니다.

 

 

 

 

📌 유효한 부분공간인가?

 

m행 n열인 행렬 A를 정의해보겠습니다.

그리고 곧바로 동차 방정식을 1개 세웠습니다.

행렬 A와 벡터 x를 곱하면 영벡터가 된다는 방정식입니다.

이 방정식을 그대로 조건으로 가져가겠습니다.

 

 

방정식 Ax = 0을 만족하는 모든 벡터 x의 집합을 n이라고 하겠습니다.

n은 부분 공간으로서 유효합니까?

즉, 위의 부분공간 3개 조건을 만족합니까?

 

유효 여부를 바로 살펴보도록 하겠습니다.

 

 

 

 

📌 증명

 

 

(1) 영벡터를 포함한다.

이를 증명하는 방법은 벡터 x의 집합, n에 영벡터가 있다고 가정하고 계산해보는 것입니다.

영벡터가 방정식을 만족한다면, 아래 그림과 같을 것입니다.

행렬 A에 영벡터를 곱하면 당. 연. 히 나옵니다.

그러므로 첫 번째 조건은 만족했습니다.

 

 

 

 

(2) 벡터 v1, v2가 n에 포함된다면, v1+v2도 n에 포함된다.

 

v1과 v2가 n에 포함된다면 방정식을 만족할 것입니다.

 

(v1+v2)도 방정식을 만족한다고 가정하고 식을 써봅니다.

A(v1+v2)는 분배 법칙에 따라 Av1 + Av2로 변형할 수 있고, 식은 영벡터+영벡터=영벡터이므로 2번째 조건도 만족합니다.

 

 

 

(3) 벡터 v1이 n에 포함된다면, cv1도 n에 포함된다.

 

v1이 포함되고, cv1도 포함된다고 가정하고 방정식을 전개합니다.

A(cv1)은 교환법칙에 따라 c(Av1)으로 변형할 수 있습니다. 

Av1은 영벡터이고, 영벡터에 실수를 곱해도 영벡터이므로 세 번째 조건도 만족함을 알 수 있습니다.

 

 

 

 

📌 결론

 

결국 집합 n이 유효한 부분 공간임을 증명했습니다.

덧셈과 곱셈에 닫혀있음을 확인했습니다.

 

이러한 n을 A의 영공간이라고 부릅니다.

A를 열벡터로 만드는 벡터 x의 집합 = A의 영공간

 

 

 

 

n = n(A)과 A가 주어지고 n을 찾으라고 한다면, 방정식 Ax = 0을 만족하는 모든 x를 찾으라는 뜻입니다.

지금까지 행렬의 영공간에 대해 알아봤습니다.

이번 포스팅은 영공간의 의미를 이해하는 것이 목표입니다.

꼭 그 의미를 이해하고 넘어가시길 바랍니다.