[선형대수학] R3 열공간의 평면식 구하기

이번 포스팅에선, R3 열공간의 평면식을 구해보도록 하겠습니다.

열공간, 기약 행 사다리꼴 행렬 개념을 모르신다면, 학습하고 오시는 걸 추천드립니다.

 

목차

📃 행렬 정의, 열공간의 기저 구하기

📃 열공간의 기저로 평면식 구하기

 

 

 

행렬 정의, 열공간의 기저 구하기

 

 

📌 행렬 정의

행렬 A(MxN)를 정의합니다. 

 

 

 

 

 

📌 행렬 A를 기약 행 사다리꼴 행렬로 변환합니다.

변환 이유는, pivot 행렬을 구하기 위함입니다.

 

 

(1) 실행

(2) 실행

 

(3) 실행

기약 행 사다리꼴 행렬이 완성되었습니다.

pivot 행렬은 첫 번째 열 벡터와 두 번째 열 벡터입니다. 이 두 개의 행렬로 다른 두 개의 행렬을 모두 나타낼 수 있습니다.

 

 

예를 들어,

 

 

 

이에 따라 V1, V2는 선형독립이며, 행렬 A의 열공간의 기저라고 할 수 있습니다.

 

 

 

 

 

 

열공간의 기저로 평면식 구하기

 

 

📌 열공간의 기저를 그래프를 통해 나타내 봅니다.

다음과 같이 3차원 그래프에 표현할 수 있습니다. 이 둘의 벡터로 나타낼 수 있는 모든 벡터의 집합은 하나의 평면(노란 형광 영역)을 나타낼 것입니다. 평면식은 어떻게 구할 수 있을까요? 법선벡터와 평면위의 벡터를 내적하면 0이 나온다는 것을 이용하면 구할 수 있습니다.

 

 

 

📌 법선 벡터 구하기

법선 벡터는 평면의 직각일 것입니다.

기저 벡터의 외적은 곧 직각 벡터를 반환하며, 이를 이용하면 법선 벡터를 구할 수 있습니다.

 

 

 

 

📌 법선 벡터를 평면식에 대입

구해진 법선 벡터를 평면식에 대입해줍니다.

아주 간단한 벡터들의 내적이 보입니다.

 

 

 

벡터 내적을 풀어주면 다음과 같은 식을 도출됩니다.

잘 정리하면, x, y, z로 구성된 이쁜 평면식을 구해낼 수 있습니다.

 

 

 

 

📌 복습

R3 열공간의 평면식을 구하는 순서는 다음과 같았습니다.

 

(1) 열공간의 기저 구하기

(2) 법선 벡터 구하기

(3) 평면식에 대입하기

(4) 식을 풀어주기

 

평면식을 구하는 방법은 하나 더 있습니다(더 간편). 이는 다음 포스팅에서 다루겠습니다.

고생하셨습니다.